2009 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 17

[matematikolimpiyati]

$A=\dfrac{\sqrt{1^2 \cdot 3^2 + 8 \cdot 1^2 -1}}{1 \cdot 3} + \dfrac{\sqrt{3^2 \cdot 5^2 + 8 \cdot 2^2 -1}}{3 \cdot 5} + \dfrac{\sqrt{5^2 \cdot 7^2 + 8 \cdot 3^2 -1}}{5 \cdot 7} + \cdots + \dfrac{\sqrt{23^2 \cdot 25^2 + 8 \cdot 12^2 -1}}{23 \cdot 25}$

ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$\textbf{a)}\ 12,12  \qquad\textbf{b)}\ 12,24  \qquad\textbf{c)}\ 12,32  \qquad\textbf{d)}\ 12,48  \qquad\textbf{e)}\ 12,54$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Verilen toplamdaki her terim $n=1,2,\dots,12$ için $$\frac{\sqrt{(2n-1)^2(2n+1)^2+8n^2-1}}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{4n^2}{(2n-1)(2n+1)}$$ $$=1+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=1+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)$$ formatındadır. Dolayısıyla teleskopik toplamdan $$A=12+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{12}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)=12+\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{25}\right)$$ elde edilir. $\boxed{A=12.48}$ olacaktır.