2009 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 16

[matematikolimpiyati]

$n^2+1001 \cdot n$  ifadesini tam kare yapan en büyük $n$ pozitif tam sayısının rakamlar toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 6  \qquad\textbf{b)}\ 7  \qquad\textbf{c)}\ 8  \qquad\textbf{d)}\ 9  \qquad\textbf{e)}\ 11$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

Verilen ifade tamkare ise $4$ katı da tamkaredir. $$4n^2+4004n=t^2\implies 4n^2+4004n+1001^2=(2n+1001)^2=t^2+1001^2$$ elde edilir. İki kare farkı uygularsak, $$(2n+1001-t)(2n+1001+t)=1001^2$$ olur. $1001^2=ab$ şeklindeki bir çarpanlarına karşılık $a+b=4n+2002$ olacağından $n$'yi maksimize etmek için $a+b$'yi maksimize etmeliyiz. Çarpımları sabit olan iki sayının toplamı, sayılar birbirine yaklaştıkça azalır. Dolayısıyla $n$'nin en büyük değeri için $(a,b)=(1001^2,1)$ seçmeliyiz. Buradan $$4n+2002=1001^2+1\implies 4n=(1001-1)^2=10^6\implies n=250000$$ elde edilir. Rakamları toplamı $7$'dir.