2009 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 15

[matematikolimpiyati]

$x>0$  ve  $y>0$  olmak üzere$,$

              $9x+64y+\dfrac{1}{x^2y}$

ifadesinin alabileceği en küçük değer aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 24  \qquad\textbf{b)}\ 20  \qquad\textbf{c)}\ 18  \qquad\textbf{d)}\ 22  \qquad\textbf{e)}\ 30$

[Eray]

Cevap: $\boxed A$

Aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliğini kullanalım.

$\begin{align*}
9x+64y+\dfrac{1}{x^2y}\quad &=\quad \dfrac 9 2 x+\dfrac 9 2 x+64y+\dfrac{1}{x^2y}\\
&\ge\quad 4\cdot\sqrt[4]{ \dfrac 9 2 x \cdot \dfrac 9 2 x \cdot 64y \cdot \dfrac{1}{x^2y} }\\
&=\quad 4\cdot\sqrt[4]{ \dfrac{9\cdot9\cdot64}{2\cdot2} }\\
&=\quad 4\cdot\sqrt{3^42^4}\\
&=\quad 24.
\end{align*}$
Bu, cevabın $\boxed{24}$ olduğunu söylemek için yeterlidir. Fakat yine de bütünlük adına eşitlik durumunu inceleyelim.

Eşitlik durumu için $\dfrac 9 2 x = 64y = \dfrac{1}{x^2y}$ olmalıdır.
$\dfrac 9 2 x = 64y = \dfrac{1}{x^2y} = a$ dersek,
$
\begin{align*}
a^4\quad &=\quad a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\\
&=\quad \dfrac 9 2 x \cdot \dfrac 9 2 x \cdot 64y \cdot \dfrac{1}{x^2y}\\
&=\quad 3^4\cdot2^4\\
&=\quad 6^4\\\\
\Longrightarrow\quad a\quad &=\quad \pm 6.
\end{align*}
$
$x,y>0$ verildiğinden $a=6$ ve $x=\dfrac 4 3$, $y=\dfrac 3 {32}$ elde edilir. Bu değerler için ifadenin değerinin $24$ olduğu kontrol edilebilir.