Gönderen Konu: 2009 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 13  (Okunma sayısı 1762 defa)

Çevrimdışı matematikolimpiyati

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.562
  • Karma: +4/-0
2009 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 13
« : Ekim 07, 2022, 02:31:41 ös »
$[1,\infty)$ aralığından alınmış kaç tane $x$ için

          $\sqrt{1-\dfrac{1}{x}}< \sqrt{x+1}-1$

eşitsizliği sağlanmaz?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}$

Çevrimdışı Metin Can Aydemir

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.322
  • Karma: +9/-0
Ynt: 2009 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 13
« Yanıtla #1 : Ocak 03, 2024, 02:35:27 ös »
Cevap: $\boxed{B}$

Verilen eşitliği sağlamayan $x$'leri bulmak için $$\sqrt{1-\frac{1}{x}}\geq \sqrt{x+1}-1$$ olan $x$'leri bulmalıyız. $x\geq 1$ olduğunu göz önünde bulundurursak, $\sqrt{x+1}>1$'dir ve $$\sqrt{1-\frac{1}{x}}\geq \sqrt{x+1}-1\iff 1-\frac{1}{x}\geq x+2-2\sqrt{x+1}$$ $$\iff 2\sqrt{x+1}\geq x+\frac{1}{x}+1\iff 4(x+1)\geq x^2+\frac{1}{x^2}+1+2x+\frac{2}{x}+2$$ $$\iff 0\geq x^2+\frac{1}{x^2}-2x+\frac{2}{x}-1\iff 0\geq x^4-2x^3-x^2+2x+1=(x^2-x-1)^2$$ olur. Dolayısıyla verilen eşitliği sağlamayan tek $x$ değerleri $x^2-x-1$'in kökleridir. Bu köklerden sadece $1$ tanesi $1$'den büyük olduğundan (diskriminant ile kontrol edilebilir) istenilen eşitsizliği sağlamayan tek bir $x$ değeri vardır.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal