Cevap: $\boxed{A}$
$n=2k+1$ yazalım. Aritmetik üçlülerini sayalım. En büyük ve en küçük terim aynı paritede olmalıdır. Aynı paritede farklı iki sayı $(a,c)$ seçersek, $\frac{a+c}{2}$ sayısı, $a$ ile $c$ arasında istenilen şartlara uygun bir tamsayı olacağından bu şekildeki ikilileri saymalıyız.
En küçük terim $a$ (tek sayı) ise en büyük terim $a+2,a+4,\dots, 2k+1$ sayılarından biri olmalıdır, yani $\frac{2k+1-a}{2}$ tane seçenek vardır.
En küçük terim $a$ (çift sayı) ise en büyük terim $a+2,a+4,\dots, 2k$ sayılarından biri olmalıdır, yani $\frac{2k-a}{2}$ tane seçenek vardır.
$a=1,3,\dots,2k-1$ ve $a=2,4,\dots,2k-2$ terimleri için toplam aritmetik üçlü sayısı $$\sum_{i=1}^{k}\frac{(2k+1)-(2i-1)}{2}+\sum_{j=1}^{k-1}\frac{2k-2j}{2}$$ $$=\sum_{i=1}^{k}(k+1-i)+\sum_{j=1}^{k-1}(k-j).$$ Eğer $i\mapsto k+1-i$ ve $j\mapsto k-j$ dönüşümü yaparsak, yukarıdaki toplam $$=\sum_{i=1}^{k}i+\sum_{j=1}^{k-1}j=\frac{k(k+1)}{2}+\frac{(k-1)k}{2}=k^2$$ olacaktır. $k^2>99$ olmasını sağlayan en küçük $k$ değeri $10$'dur. En küçük $n$ tek sayısı $n=2k+1=21$'dir.
