2009 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 08

[matematikolimpiyati]

$n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere$,\ a=\dfrac{n(n+1)}{2}$ biçimindeki sayıya bir üçgensel sayı denir. Buna göre$,\ a-b=90$ eşitliğini sağlayan kaç tane $(a,b)$ üçgensel sayı ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 3  \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 5  \qquad\textbf{d)}\ 6  \qquad\textbf{e)}\ 8$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

$a=\frac{n(n+1)}{2}$ ve $b=\frac{m(m+1)}{2}$ olsun. Bu durumda $a-b=90$ olduğundan $$n(n+1)-m(m+1)=(n-m)(n+m+1)=180$$ elde edilir. $n-m$ ve $n+m+1$'in pariteleri farklıdır. Dolayısıyla bir tanesi $4$'e bölünmelidir. Ayrıca $n+m+1>n-m$'dir. $$(n-m,n+m+1)=(1,180),(3,60),(4,45),(5,36),(9,20),(12,15)$$ olabilir. Bu çözümlerin her birinden bir tane $(n,m)$ ikilisi, her ikiliden de bir tane $(a,b)$ ikilisi elde edeceğimizden dolayı $6$ tane ikili vardır.