2009 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 06

[matematikolimpiyati]

$n$ sayısı $3$ ile$,\ n+1$ sayısı $7$ ile ve $n+2$ sayısı da $11$ ile tam bölünecek şekildeki en küçük $n$ pozitif tam sayısının rakamları toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 13  \qquad\textbf{b)}\ 10  \qquad\textbf{c)}\ 9  \qquad\textbf{d)}\ 11  \qquad\textbf{e)}\ 12$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

Bizden istenilen $n$, $$n\equiv 0\pmod{3}$$ $$n\equiv 6\pmod{7}$$ $$n\equiv 9\pmod{11}$$ denkliklerini sağlayacaktır. Birinci ve üçüncü denkliği $$n\equiv 9\pmod{33}$$ olarak birleştirebiliriz. $n=33k+9$ yazarsak, $$33k+9\equiv 6\pmod{7}\implies 5k+3\equiv 0\pmod{7}\implies 2k\equiv 3\equiv 10\pmod{7}$$ $$\implies k\equiv 5\pmod{7}$$ bulunur. $k=7m+5$ için $$n=33(7m+5)+9=231m+174$$ elde edilir. Yani en küçük $n$ pozitif tamsayısı $m=0$ için $n=174$'dür. Rakamları toplamı $1+7+4=12$'dir.