2009 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 01

[matematikolimpiyati]

$A=\{-1,-2,-3,...,-97,-98\}$ kümesinin$,$ boş olmayan her alt kümesi için$,$ bu alt kümenin elemanlarının çarpımını hesaplayalım. Ortaya çıkan tüm çarpımların toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ -1  \qquad\textbf{b)}\ 0  \qquad\textbf{c)}\ 1  \qquad\textbf{d)}\ 98!-97!  \qquad\textbf{e)}\ 98!-1$

[Eray]

Cevap: $\boxed A$

$A$ kümesinin alt kümelerini, içerisinde $-1$ geçenler ve geçmeyenler olarak karşılıklı eşleyelim. Mesela $\{-1,-2,-98\}$ alt kümesi ile $\{-2,-98\}$ alt kümesi eşlenecektir.

Bu eşlemede karşılığı olmayan tek alt küme $\{-1\}$ alt kümesidir. Zira bu, $A$ kümesinin boş olmayan alt kümelerinin sayısı $2^{98}-1$ in tek sayı olmasıyla tutarlı bir durumdur.

Eşlenmiş olan alt kümelerin elemanlarının çarpımının toplamı $0$ olacaktır. Mesela $\{-1,-2,-98\}$ alt kümesinin elemanlarının çarpımı ile $\{-2,-98\}$ alt kümesinin elemanlarının çarpımının toplamı $(-1)(-2)(-98) + (-2)(-98) = (-196) + 196 = 0$.

Geriye sadece $\{-1\}$ alt kümesi kalır. Bu kümenin elemanları çarpımı $-1$ olduğundan, aranan cevap $\boxed{-1}$ dir.