2008 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 20

[matematikolimpiyati]

Kenar uzunluğu $1$ olan düzgün beşgenin köşegenleri kesişerek$,$ bu beşgenin içinde küçük bir düzgün beşgen oluşturuyorlar. Küçük beşgenin kenar uzunluğuna $x$ denilirse$,\ (2x-3)^2$  aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ 6$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

Şekildeki gibi, düzgün beşgenlerin köşelerini $ABCDE$ ve $KLMNP$ olarak harflendirelim. Kolayca görüleceği üzere, $|EL| = |AE| = 1$ olup $|EK| = 1-x$ tir. $m(\widehat{EAK}) = m(\widehat {LAK}) = 36^\circ$ dir. Ayrıca, açı takibi ile $|LA| = |AK| = |KE| = 1-x$ olur. $AEL$ üçgeninde iç açıortay teoreminden
$$ \dfrac{1}{1-x} = \dfrac{1-x}{x}$$
olup içler dışlar çarpımından $(1-x)^2 = x$ olur. Buradan $x^2 - 3x = -1$ elde edilir. Buna göre, $(2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9 = 4(x^2 - 3x) + 9 =  4\cdot(-1) + 9 = 5$ bulunur.