2008 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 18

[matematikolimpiyati]

$\mathbb Q$  rasyonel sayılar kümesi olmak üzere$,\ f : \mathbb Q \to \mathbb Q$  fonksiyonu$,$  her $x,y \in \mathbb Q$ için

$f(x+y)-10=f(x)+f(y)$  ve  $f(1)=1$

eşitliklerini sağlasın. Buna göre$,\ f\left(\dfrac{10}{11}\right)$ sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ 6$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

$f(x)=g(x)-10$ dönüşümü yaparsak, $$g(x+y)=g(x)+g(y)$$ elde edilir. Cauchy fonksiyonel eşitliğinden $g(x)=g(1)x$'dir. $g(1)=f(1)+10=11$ olduğundan $g(x)=11x$ ve $f(x)=11x-10$ elde edilir. $$f\left(\frac{10}{11}\right)=0$$ buluruz.