2008 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 17

[matematikolimpiyati]

$n$ doğal sayısının kaç tane değeri için$,$

$\left\{ \begin{array}{lcr}  x_1 + x_2 + \cdots +x_n & = & 9 \\ \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \cdots + \dfrac{1}{x_n} & = & 1 &  \end{array}\right.$

denklem sisteminin pozitif reel sayılarda çözümü vardır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 9  \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

$n\geq 4$ ise Aritmetik - Harmonik ortalama eşitsizliğinden, $$\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\geq \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}}\implies 9\geq n^2$$ çelişkisi elde edilir.

$n=3$ ise $(x_1,x_2,x_3)=(3,3,3)$ seçebiliriz.

$n=2$ ise $x_1+x_2=x_1x_2=9$ bulunur. Bu denklem sistemini çözersek, $(x_1,x_2)=\left(\frac{9+3\sqrt{5}}{2},\frac{9-3\sqrt{5}}{2}\right)$ çözümünü bulabiliriz.

$n=1$ ise $x_1=9$ ve $\frac{1}{x_1}=1$ eşitliklerini buluruz ancak buradan çözüm gelmez. Dolayısıyla, $n$ sadece $2$ veya $3$ olabilir.