2008 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 08

[matematikolimpiyati]

$A=2^{1001}+3^{1001}+4^{1001}+ \cdots + 2000^{1001}+2001^{1001}$ sayısının $77$ ile bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 75  \qquad\textbf{e)}\ 76$

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Yanıt: $\boxed{E}$

$2002=26\cdot 77$  dir. Her $1\leq k\leq 77$  için $77|k^{1001}+(77-k)^{1001}$  olduğundan $\sum\limits_{i=1}^{77}{i^{1001}}\equiv 0\pmod{77}$  olacaktır.
$$\sum_{n=2}^{2001}{n^{1001}}\equiv \sum_{n=1}^{2002}{n^{1001}}-1\equiv -1\equiv 76$$
olur.