2008 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 06

[matematikolimpiyati]

$f(x)=\dfrac{1}{4^x+2}$ fonksiyonu verilsin. $1111$ 'den küçük ve $1111$ ile aralarında asal olan pozitif $k$ tam sayıları için$,$

                     $a_k=f \left( \dfrac{k}{1111} \right) + f \left( \dfrac{1111-k}{1111} \right)$

sayılarının toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 500  \qquad\textbf{b)}\ 800  \qquad\textbf{c)}\ 600  \qquad\textbf{d)}\ 400  \qquad\textbf{e)}\ 1000$

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Cevap A dır.

Öncelikle bu tür sorularda genellikle b herhangi sabit bir değer olmak üzere
$a_{k}= f(\frac{k}{1111}) + f(\frac{1111-k}{1111})=b$ olur.

Kanıt:

$f(\frac{k}{1111}) + f(\frac{1111-k}{1111})$
= $f(\frac{k}{1111}) + f(1-\frac{k}{1111})$

ve $\frac{x}{1111}=c$ diyelim ve gösterimi kolaylaştıralım.

$\frac{1}{4^c+2}+\frac{1}{\frac{4}{4^c}+2}$
 =$\frac{1}{4^c+2}+\frac{1}{\frac{2.2+2.4^c}{4^c}}$
 =$\frac{1}{4^c+2}(1+\frac{4^c}{2})$
 =$\frac{1}{4^c+2}(1+\frac{4^c}{2})$
 =$\frac{1}{4^c+2}(\frac{4^c+2}{2})$
        =$\frac{1}{2}$ dir.

$\phi(1111)=(11-1)(101-1)=1000$ dir .

=> $1000.\frac{1}{2}=500$.