2008 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 05

[matematikolimpiyati]

$\dfrac{x}{y}+4 \dfrac{y}{x}=2$ eşitliğini sağlayan $x$ ve $y$ değerleri için$,\ \dfrac{x^3}{y^3}$ oranı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 8  \qquad\textbf{b)}\ -8  \qquad\textbf{c)}\ 64  \qquad\textbf{d)}\ -64  \qquad\textbf{e)}\ 27$

[matematikolimpiyati]

Yanıt: $\boxed{B}$

$\dfrac{x}{y}=a$ diyelim dolayısıyla $\dfrac{y}{x}=\dfrac{1}{a}$ olur. Denklemi yeniden düzenlersek :
$$a+\dfrac{4}{a}=2 \implies a^2+4=2a \implies a^2-2a+4=0$$
elde ederiz ve bu son eşitliğin her iki tarafını $(a+2)$ ile çarparsak :
$$(a+2)(a^2-2a+4)=0 \cdot (a+2) \implies a^3+8=0 \implies a^3=-8$$
buluruz. Buradan da $\dfrac{x^3}{y^3}=\left( \dfrac{x}{y} \right) ^3=a^3=-8$ sonucuna ulaşırız.