2008 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 01

[matematikolimpiyati]

Altı basamaklı $x=abcabc$ ve dört basamaklı $y=d00d$ sayıları için$,\ \sqrt{x+y}$ tam sayı olacak biçimde kaç tane $(x,y)$ ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 7  \qquad\textbf{b)}\ 8  \qquad\textbf{c)}\ 9  \qquad\textbf{d)}\ 10  \qquad\textbf{e)}\ 11$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

$x=abcabc=1001\cdot abc$ ve $y=d00d=1001\cdot d$ olarak yazarsak, $$\sqrt{x+y}=\sqrt{1001(abc+d)}$$ olacaktır. $1001=7\cdot 11\cdot 13$ olduğundan $abc+d=1001\cdot e^2$ formatında olmalıdır. $abc+d<2000$ olduğundan $abc+d=1001$ olmalıdır. $(a,b)\neq (9,9)$ ise $$abc+d\leq 989+9<1001$$ olacağından çelişki elde edilecektir. Yani $a=b=9$'dur ve eşitlik $c+d=11$ şekline dönüşür. Bunun çözümleri ise $(c,d)=(2,9),(3,8),\dots,(9,2)$ olacaktır. Toplam $8$ tane ikili vardır.