Direkt olarak sorulmasından ziyade, soru çözümlerin bir parçası olarak karşımıza sonlu toplamlar çıkabiliyor. Bunların en ünlülerinden olan $$\sum_{i=1}^{n} i =\dfrac{n(n+1)}{2}$$ $$\sum_{i=1}^{n} i^2 =\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ gibi sonlu toplamları örnek verebiliriz. Bunların toplamlarının hesaplanmasında birçok yöntem olmakla beraber, genelde tümevarım yöntemi kullanılır. Bu yöntemdeki tek sorun, formatı küçük değerlerle tahmin etmektir. Bu gönderide de tümevarıma alternatif bir ters-düz yönteminden bahsedeceğim.
$(x_n)_{n=1}^{\infty}$ dizisini ele alalım ve $S_n=\sum_{i=1}^{n} x_i$ toplamına bakalım. Bu toplamda ilk fark edilecek şey aslında $S_n$'nin de bir indirgemeli dizi olduğudur çünkü $S_1=x_1$ ve $n\geq 1$ için $S_{n+1}=S_n+x_{n+1}$'dir. Bu indirgemeli diziyi $$S_{n+1}=S_{n}+x_{n+1}=x_1+\sum_{i=2}^{n+1}x_i=x_1+\sum_{i=1}^{n}x_{i+1}$$ olarak yazalım. Ters-düz metodu burada bitiyor. Buradan sonrasında olumlu bir şekilde ilerleyebilmek için $x_{i+1}$'i de indirgemeli dizi olarak yazabilmemiz gerekiyor (zorunlu değil ama çoğunlukla bu şekilde olması devam edebilmemizi sağlıyor). Örneğin, $i\geq 2$ için $$x_{i+1}=Ax_{i}+Bx_{i-1}+Ci$$ şeklinde bir indirgemeli dizi ile verilmiş olsun. O halde $$S_{n+1}=S_n+x_{n+1}=x_1+x_2+\sum_{i=2}^{n} (Ax_i+Bx_{i-1}+Ci)$$ $$=x_1+x_2+A\left(S_n-x_1\right)+B\cdot S_{n-1}+C\left(\frac{n(n+1)}{2}-1\right)$$ olur ve $$(1-A)S_n=B\cdot S_{n-1}+(1-A)x_1+x_2-x_{n+1}+C\left(\frac{n^2+n-2}{2}\right)$$ elde edilir. Bu biraz genel hal olduğundan karışık gözükmektedir ama daha alt durumlara bakalım.
i) $A=1$ ise yani $x_{i+1}=x_i+Bx_{i-1}+Ci$ şeklinde ise $$S_{n-1}=\dfrac{1}{B}\left(x_{n+1}-x_{2}-C\left(\frac{n^2+n-2}{2}\right)\right)$$ elde edilir.
ii) $B=0$ ise yani $x_{i+1}=Ax_i+Ci$ formatında ise $$S_n=x_1+\dfrac{1}{1-A}\left(x_2-x_{n+1}+C\left(\frac{n^2+n-2}{2}\right)\right)$$ olacaktır.
Not: Eğer hem $A=1$ hem de $B=0$ ise i ve ii şıklarındaki eşitliklerin mantıklı olması için $x_{n+1}=x_2+C\left(\frac{n^2+n-2}{2}\right)$ olması gerekir ki bunu çok daha temel yöntemlerle teyit edebiliriz.
Farklı formatta diziler denenerek farklı formüller elde edilebilir. Birkaç tane de örnek verelim.
Örnek 1: $x_n=n\cdot 2^n$ için $$S_{n+1}=S_n+(n+1)\cdot 2^{n+1}=x_1+\sum_{i=1}^{n} (i+1)2^{i+1}=2+\sum_{i=1}^{n} i\cdot 2^{i+1}+\sum_{i=1}^{n} 2^{i+1}=2+2S_n+(2^{n+2}-4)$$ $$\implies S_n=(n+1)\cdot 2^{n+1}-2^{n+2}+2=(n-1)\cdot 2^{n+1}+2$$ elde edilir.
Örnek 2: $x_n=n^{k+1}$ alalım. $S_n$ yerine $S_n(k+1)$ diyelim. $$S_n(k+1)+(n+1)^{k+1}=1+\sum_{i=1}^{n} (i+1)^{k+1}$$ olur. $(i+1)^{k+1}=\sum_{r=0}^{k+1} \dbinom{k+1}{r}i^r$ olduğundan $$S_n(k+1)+(n+1)^{k+1}=1+ \sum_{r=0}^{k+1}\sum_{i=1}^{n}\dbinom{k+1}{r}i^r=1+\sum_{r=0}^{k+1}\dbinom{k+1}{r}S_n(r)$$ $r=k+1$ için toplamın içi $S_ n(k+1)$ olacağından $$(n+1)^{k+1}=1+\sum_{r=0}^{k}\dbinom{k+1}{r}S_n(r)$$ elde edilir. Buradan da $k$ üzerinden $S_n(k)$ için bir indirgemeli dizi elde etmiş oluruz.
Not: Bu metodun orijinal adı "Perturbation Method"dur. $S_{n+1}$ toplamında önce son terimi sonra ilk terimi çıkartıp kalanlar terimlerin toplamı üzerinden işlemler uygulandığından "ters-düz" ismini kullandım.
