$p=2$ için ifade tamkare olmadığından $p$'yi tek kabul edelim. Eğer $p\equiv 3\pmod{4}$ ise $$p^3-p^2+2p-1\equiv 3^3-3^2+6-1\equiv 3\pmod{4}$$ olacağından tamkare olamaz. Yani $p\equiv 1\pmod{4}$ olmalıdır. Eğer $p^3-p^2+2p-1=n^2$ dersek $$p^3=(p-1)^2+n^2$$ olacaktır. $p^3$'ü iki tamkarenin toplamı olarak kaç farklı şekilde yazabileceğimize bakalım. Öncelikle bu formatta yazılabileceğini gösterelim.
Lemma 1: $p\equiv 1\pmod{4}$ asal sayısı için $p=a^2+b^2$ olacak şekilde $a$ ve $b$ pozitif tam sayıları vardır.
İspat: Buradaki çalışmanın ilk teoreminde ispatlanmıştır (teorem ispatının ikinci kısmına bakınız).
Lemma 2: $p\equiv 1\pmod{4}$ asal sayısı için $p^3=a^2+b^2$ olacak şekilde aralarında asal $a$ ve $b$ pozitif tam sayıları vardır.
İspat: Lemma 1'den $p=x^2+y^2$ olacak şekilde $x$ ve $y$ tamsayıları olduğunu biliyoruz. Ayrıca $x$ ve $y$ aralarında asaldır çünkü $(x,y)=d$ ise $d^2\mid p$ elde edilir ve $d=1$ bulunur. $$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$$ özdeşliğini kullanalım. $$p^2=(x^2+y^2)(x^2+y^2)=(x^2-y^2)^2+(2xy)^2$$ $$p^3=(x^2+y^2)\left[(x^2-y^2)^2+(2xy)^2\right]=\left[x(x^2-y^2)-2xy^2\right]^2+\left[y(x^2-y^2)+2x^2y\right]^2=(x^3-3xy^2)^2+(3x^2y-y^3)^2$$ bulunur. Eğer $\text{ebob}(x^3-3xy^2,3x^2y-y^3)=d$ ise $d^2\mid p^3$ olacağından $d=1$ veya $d=p$ olabilir. Eğer $d=p$ ise $p\not\mid x,y$ olduğundan $$p\mid x^2-3y^2~~\text{ve}~~p\mid 3x^2-y^2\implies p\mid 4(x^2-y^2)\implies p\mid x^2-y^2\implies p\mid (p-y^2)-y^2$$ $$\implies p\mid y$$ elde edilir. Bu bir çelişkidir, $d=1$ olmalıdır.
Lemma 3: $p\equiv 1\pmod{4}$ asalı için $p^3=a^2+b^2$ olacak şekilde sadece iki adet $(a,b)$ aralarında asal pozitif tamsayı çifti vardır.
İspat: $(a,b)$ bir çözüm olsun. Lemma 2'den böyle bir çözüm olduğunu biliyoruz. $a\neq b$ olduğunu da biliyoruz. Dolayısıyla $(a,b)$ ve $(b,a)$ çözümdür. Bu iki çözüm dışında bir aralarında asal $(c,d)$ çözümü olduğunu varsayalım. $$a^2+b^2\equiv 0\pmod{p^3}\implies (ab^{-1})^2\equiv -1\pmod{p^3}$$ olacaktır. Eğer $ab^{-1}\equiv r\pmod{p^3}$ dersek $a^{-1}b\equiv -r\pmod{p^3}$ olacaktır ve $(r,p)=1$'dir. $cd^{-1}\equiv t\pmod{p^3}$ dersek $$r^2\equiv t^2\equiv -1\pmod{p^3}\implies (r-t)(r+t)\equiv 0\pmod{p^3}\implies t\equiv r ~~\text{veya}~~ t\equiv -r$$ olur. Genelliği bozmadan $r\equiv t$ olsun. Bu durumda $$a\equiv br\pmod{p^3}~~\text{ve}~~c\equiv dr\pmod{p^3}\implies (a-c)\equiv (b-d)r\pmod{p^3}$$ $$\implies (a-c)^2+(b-d)^2\equiv 0\pmod{p^3}$$ bulunur. $0<a,b,c,d<\sqrt{p^3}$ olduğundan $0\leq |a-c|,|b-d|<\sqrt{p^3}$ olacaktır ve $$0\leq (a-c)^2+(b-d)^2<2p^3\implies (a-c)^2+(b-d)^2=0~~\text{veya}~~ p^3$$ olur. $0$ olursa $(a,b)=(c,d)$ olur ve bu bir çelişkidir. Eğer $p^3$ ise $$p^3=(a-c)^2+(b-d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2-2ac-2bd=2p^3-2ac-2bd$$ olur fakat bir taraf tek, diğer taraf çifttir. Dolayısıyla böyle bir $(c,d)$ çözümü yoktur, sadece $2$ çözüm vardır.
Şimdi asıl soruya dönelim. $p^3=(p-1)^2+n^2$ ise $(p-1)$ ve $n$ aralarında asal olmalıdır. Dolayısıyla, eğer $p=a^2+b^2$ dersek, lemma 2 ve 3'ten $$p-1=|a^3-3ab^2|~~\text{veya}~~p-1=|b^3-3a^2b|$$ elde edilir. İşlemler $a$ ve $b$'ye göre simetrik olduğundan $p-1=a^2+b^2-1=|a^3-3ab^2|$ kabul edebiliriz.
i) Eğer $p-1=a^2+b^2-1=a^3-3ab^2$ ise $b^2$'yi yalnız bırakalım. $$b^2=\frac{a^3-a^2+1}{3a+1}\implies 27b^2=9a^2-12a+4+\frac{23}{3a+1}$$ olur fakat $23$'ün $3a+1$'e eşit olabilecek bir böleni yoktur.
ii) Eğer $p-1=a^2+b^2-1=3ab^2-a^3$ ise yine $b^2$'yi yalnız bırakalım. $$b^2=\frac{a^3+a^2-1}{3a-1}\implies 27b^2=9a^2+12a+4-\frac{23}{3a-1}$$ olur ve $23$'ün $3a-1$'e eşit olabilecek tek böleni kendisidir. Buradan $a=8$ bulunur. Eğer yerine yazarsak da $b=5$ elde edilir. $p=a^2+b^2=89$ bulunur.
İfadenin tamkare olmasını sağlayan tek asal sayı $89$'dur. ($89^3-89^2+2\cdot 89-1=697225=835^2$)
