Toplamın Limiti

[Lokman Gökçe]

Problem: $n$ pozitif tam sayılarda değer alan bir değişken ve $k$ pozitif tam sayı olan bir sabit ise
$$  \lim_{n\to \infty} \dfrac{1^k + 2^k + 3^k+ \cdots + n^k}{n^{k+1}}  $$
limiti için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?


$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{k+1}{5k-1} \qquad\textbf{c)}\ \left| \dfrac{k^2-7k}{18k-6} \right| \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1}{k+1} \qquad\textbf{e)}\ \text{Limit yoktur}$



Not: $k$'ya özel değerler vererek seçeneklerden gitmeyi zorlaştırmak için, seçenekler biraz çeldirici olsun istedim.

[matematikolimpiyati]

Yanıt: $\boxed{D}$

Bu limiti belirli integral yardımıyla hesaplayabiliriz :

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} \dfrac{1^k + 2^k + 3^k+ \cdots + n^k}{n^{k+1}} = \displaystyle \lim_{n\to \infty} \dfrac{1}{n} \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \dfrac{i^k}{n^k} = \displaystyle \lim_{n\to \infty} \dfrac{1}{n} \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \left( \dfrac{i}{n} \right) ^k$

                                                                        $= \displaystyle \int\limits_{0}^{1} x^k dx = \dfrac{x^{k+1}}{k+1} \Bigg |_{0}^{1} = \dfrac{1}{k+1}$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

Bence de en rahat yol, limiti belirli integrale dönüştürmektir. Şıklardan ilerlemeye çalışırsak şöyle oluyor:



Toplam formüllerini kullanırsak,

$k=1$ için  $ \displaystyle \lim_{n\to \infty} \dfrac{1 + 2 + 3+ \cdots + n}{n^{2}} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{n(n+1)/2}{n^{2}} = \dfrac{1}{2}$. Bu bize $\textbf{(b), (c), (d)}$ seçeneklerinin yanıt olabileceğini gösterir.

$k=2$ için  $ \displaystyle \lim_{n\to \infty} \dfrac{1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2}{n^{3}} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{n(n+1)(2n+1)/6}{n^{3}} = \dfrac{1}{3}$. Bu bize halen $\textbf{(b), (c), (d)}$ seçeneklerinin yanıt olabileceğini gösterir.

$k=3$ için  $ \displaystyle \lim_{n\to \infty} \dfrac{1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3}{n^{4}} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{n^2(n+1)^2/4}{n^{4}} = \dfrac{1}{4}$. Bu bize $\textbf{ (c), (d)}$ seçeneklerinin yanıt olabileceğini gösterir. Gördüğünüz gibi $\textbf {(c)}$ şıkkındaki ifade çok dirayetli çıktı ve $k=1,2,3$ için
$$ \left| \dfrac{k^2-7k}{18k-6} \right| = \dfrac{1}{k+1} $$
olmaktadır.

$k=4$ için $1^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + n^4 = \dfrac1{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)$ olduğunu kullanmak gerekecek. (Bunu ezberlemiyorum ama ispatlayabilirim.) Buna göre, $ \displaystyle \lim_{n\to \infty} \dfrac{1^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + n^4}{n^{5}} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30}{n^{5}} = \dfrac{1}{5}$ olur. $\textbf{(c)}$ şıkkında $k=4$ için $\dfrac{2}{11}$ elde edildiğinden artık onun da dirayeti kırıldı. Cevap $\textbf{(d)}$ olmalıdır.



$\color{red} {\textbf{ Not:}} $ $k>0$ tam sayı verilmişti ama bunun problemde bir Red Herring olduğunu belirtmekte fayda var. Yani $k=0$ da alınabilir. Bu halde,  $ \displaystyle \lim_{n\to \infty} \dfrac{1^0 + 2^0 + 3^0 + \cdots + n^0}{n^{1}} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{n}{n} = 1 $ olur. $k=0$ için $1$ sonucu veren seçenek sadece $\textbf{(d)}$ dir.

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Burada Lokman hocanın benden önce davranıp beni uzun denklemleri yazmaktan kurtardığı bir sonucu kullanalım. $S_k(n)=1^k+2^k+\cdots+n^k$ toplamı $(k+1).$ dereceden bir polinomdur ve baş katsayısı $\frac{1}{k+1}$'dir. $$S_k(n)=\dfrac{1}{k+1}n^{k+1}+a_kn^k+a_{k-1}n^{k-1}+\cdots+a_1n+a_0$$ dersek $$\lim_{n\to \infty} \dfrac{1^k + 2^k + 3^k+ \cdots + n^k}{n^{k+1}}=\lim_{n\to \infty} \dfrac{\frac{1}{k+1}n^{k+1}+a_kn^k+a_{k-1}n^{k-1}+\cdots+a_1n+a_0}{n^{k+1}}$$ $$=\lim_{n\to \infty} \left(\frac{1}{k+1}+a_kn^{-1}+a_{k-1}n^{-2}+\cdots+a_1n^{-k}+a_0n^{-k-1}\right)$$ olacaktır. $i<0$ için $n$ pozitif sonsuza giderken $n^i$ de $0$ gideceğinden limit $\frac{1}{k+1}$ olarak bulunur.