2007 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 20

[matematikolimpiyati]

Bir $ABC$ dik üçgeninde $B$ köşesinden $[AC]$ hipotenüsüne indirilmiş $[BD]$ yüksekliğini çap kabul eden çember$,\ [BA]$ kenarını $F$ noktasında ve $[BC]$ kenarını da $E$ noktasında kessin. $[BD]$ ve $[EF]$ nin kesişim noktası $G$ olsun. $|BG|^2=|BE| \cdot |BF|$ eşitliği sağlanıyorsa$,\ ABC$ üçgeninin dar açılarının büyüğü kaç derecedir?

$\textbf{a)}\ 54  \qquad\textbf{b)}\ 60  \qquad\textbf{c)}\ 72  \qquad\textbf{d)}\ 75  \qquad\textbf{e)}\ 81$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

$|BE|=x, |BF|=y$, $|BG|=a$ olsun. $y\geq x$ olduğunu kabul edelim. $t=\dfrac{y}{x}$ dersek $t\geq 1$ olur. Çapı gören çevre açı $90^\circ$ olduğundan $m(\widehat{BFD}) = m(\widehat{BED}) = 90^\circ $ ve $|EG|=|GF|=a$ olur. $xy = a^2$ eşitliği veriliyor. Ayrıca, $BFE$ dik üçgeninde $x^2 + y^2 = 4a^2$ olur. Buradan $x^2 + y^2 = 4xy$ olup her iki tarafı $x^2$ ile bölersek $t^2 - 4t + 1 = 0$ denklemi elde edilir. $t=2 + \sqrt{3} >1$ kökünü incelersek, $\tan(\widehat{BEF}) = \dfrac{y}{x} = 2 + \sqrt{3} \implies m(\widehat{BEF}) = 75^\circ $ bulunur. Açı takibi ile, $m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{BEF}) = 75^\circ $ elde edilir.