2007 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 18

[matematikolimpiyati]

Bir $x$ reel sayısı için$,\ \left[x\right]$ ile$,\ x$'ten büyük olmayan ve $x$'e en yakın tam sayıyı$;\ \left[x\right]^*$ ile de$,\ x$'ten küçük olmayan ve $x$'e en yakın tam sayıyı gösterelim.
(Örneğin$,\ [5,3]=5$ ve $[5,3]^*=6$ ' dır.) Buna göre$,$

                         $\displaystyle \sum_{k=1}^{100} \Bigg( \bigg[\sqrt k\bigg]+\bigg[\sqrt k\bigg]^*\Bigg)$

toplamının değeri aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 1300  \qquad\textbf{b)}\ 1310  \qquad\textbf{c)}\ 1320  \qquad\textbf{d)}\ 1330  \qquad\textbf{e)}\ 1340$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

$k=n^2$ olduğunda $\left[\sqrt{k}\right]+\left[\sqrt{k}\right]^*=2n$ olacaktır. İstenilen toplama $S$ dersek, $$S=\sum_{n=1}^{10} 2n+\sum_{n=1}^{9}\sum_{k=n^2+1}^{(n+1)^2-1}\left[\sqrt{k}\right]+\left[\sqrt{k}\right]^*$$ olacaktır. $k\in [n^2+1,(n+1)^2-1]$ için $\left[\sqrt{k}\right]=n$ ve $\left[\sqrt{k}\right]^*=n+1$ olduğundan $$S=110+\sum_{n=1}^{9}\sum_{k=n^2+1}^{(n+1)^2-1}(2n+1)=110+\sum_{n=1}^{9}2n(2n+1)$$ $$=110+4\sum_{n=1}^{9}n^2+2\sum_{n=1}^{9}n=1340$$ bulunur.