2007 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 17

[matematikolimpiyati]

$a,b,c,d,e \in \{0,-1\}$ olmak üzere$,$

               $2^a \cdot 3^b \cdot 5^c \cdot 7^d \cdot 11^e$

şeklindeki tüm sayıların toplamı sadeleşmeyen kesir biçiminde yazıldığında$,$ bu kesrin payı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 1151  \qquad\textbf{b)}\ 1152  \qquad\textbf{c)}\ 1153  \qquad\textbf{d)}\ 1154  \qquad\textbf{e)}\ 1155$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

Eğer $\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac{1}{5}\right)\left(1+\frac{1}{7}\right)\left(1+\frac{1}{11}\right)$ ifadesinde terimleri dağıtırsak, istenilen formattaki tüm sayıların toplamını buluruz. Dolayısıyla, istenilen toplam $$\frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{8}{7}\cdot \frac{12}{11}=\frac{1152}{385}$$ bulunur.