2007 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 16

[matematikolimpiyati]

$A=1!(1^2+3 \cdot 1 +1)+2!(2^2+3 \cdot 2 +1)+ \cdots +222!(222^2+3 \cdot 222 +1)$ toplamının $2007$'ye bölümünden elde edilen kalan aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ 1003  \qquad\textbf{d)}\ 2004  \qquad\textbf{e)}\ 2006$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

$223$ bir asal sayıdır ve $2007=9\cdot 223$'dür. $p=223$ için $$A=\sum_{n=1}^{p-1}n!(n^2+3n+1)=\sum_{n=1}^{p-1}\left[(n+2)!-n!\right]$$ $$=(p+1)!+p!-2!-1!$$ olacaktır. $p=223$ modunda incelersek, $A\equiv -3\pmod{p}$ olacaktır. Ayrıca $n\geq 6$ için $9\mid n!(n^2+3n+1)$ olduğundan $$A\equiv \sum_{n=1}^{5}n!(n^2+3n+1)\equiv \sum_{n=1}^{5}\left[(n+2)!-n!\right]\equiv 7!+6!-2!-1!\equiv -3\pmod{9}$$ olduğundan $A\equiv -3\equiv 2004\pmod{2007}$'dir.