2007 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 15

[matematikolimpiyati]

Bir $ABC$ dik üçgeninde $[AB]$ ve $[BC]$ dik kenarları$,\ |AB|>|BC|$ eşitsizliğini sağlasın. $B$'den $[AC]$ ye indirilen dikme$,\ [AC]$ yi $H$ noktasında kessin. $[AB],\ [BC]$ ve $[BH]$ parçalarından bir dik üçgen oluşturmak mümkünse $\dfrac{|AH|}{|HC|}$ oranı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \sqrt3+1  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{\sqrt5}{2}+1  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac12 \sqrt5+\dfrac12  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{2\sqrt3}{3}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{\sqrt6}{2}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

$|AB|=a$, $|BC|=b$, $|BH|=h$, $|AH|=x$ ve $|HC|=y$ olsun. Öklid teoremlerinden $$a^2=x(x+y)$$ $$b^2=y(x+y)$$ $$h^2=xy$$ eşitliklerini bulabiliriz. $a>b$ olduğundan $x>y$'dir. $\frac{x}{y}=t$ dersek, $$b^2+h^2=a^2\implies x^2-xy-y^2=0\implies t^2-t-1=0$$ bulunur. $t>1$ olduğundan $t=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ bulunur.