2007 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 09

[matematikolimpiyati]

Bir sayı kümesinin elemanlarının toplamına bu kümenin "ağırlığı" diyelim. Örneğin$,\ \{3,5,7\}$ kümesinin "ağırlığı" $3+5+7=15$'tir. $\{1,3,5,...,17,19\}$ kümesinin tüm alt kümelerinin "ağırlıkları" toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 51200  \qquad\textbf{b)}\ 97280  \qquad\textbf{c)}\ 41472  \qquad\textbf{d)}\ 102400  \qquad\textbf{e)}\ 25600$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

Herhangi bir $a\in\{1,3,\dots,19\}$'un içerildiği altkümelerin sayısı $2^9$'dur. Bu kümelerin ağırlığına $a$'nın etkisi yine $a$'dır. Dolayısıyla tüm ağırlıkların toplamı $$2^9(1+3+5+\cdots+19)=2^9\cdot 100=51200$$ olacaktır.