2007 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 08

[matematikolimpiyati]

$p_1<p_2<...<p_n$ sayıları $(50!)^2$ sayısının tüm asal çarpanları olsun. $(50!)^2$ sayısının en büyük tek çarpanına bölümünden elde edilen sayı $m$ olmak üzere$,$

     $n \cdot p_1^{100!}+(n-1) \cdot p_2^{100!}+ \cdots + 2 \cdot p_{n-1}^{100!}+1 \cdot p_n^{100!}$

toplamının $m$ ile bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 120  \qquad\textbf{d)}\ 15  \qquad\textbf{e)}\ 105$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

$50!$ içerisindeki $2$ çarpanı sayısı $$v_2(50!)=\left\lfloor \frac{50}{2}\right\rfloor+\left\lfloor \frac{50}{2^2}\right\rfloor+\cdots=47$$ olduğundan $(50!)^2$ içerisindeki $2$ çarpanı sayısı $94$'dür. Yani $m$ sayısı $2^{94}$'dür. $\phi(2^{94})=2^{93}$'dür ve $100!$ içerisindeki $2$ çarpanı sayısı $$v_2(100!)=\left\lfloor \frac{100}{2}\right\rfloor+\left\lfloor \frac{100}{2^2}\right\rfloor+\cdots=97$$ olduğundan Euler teoreminden, $p\neq 2$ ise $p^{100!}\equiv 1\pmod{2^{94}}$ ve $p=2$ ise $p^{100!}\equiv 0\pmod{2^{94}}$ olacaktır. Buradan istenilen  toplama $S$ dersek, $$S\equiv (n-1)+(n-2)+\cdots+1\equiv \frac{n(n-1)}{2}\pmod{m}$$ olacaktır.  $(50!)^2$'nin asal bölenleri $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47$ olduğundan $n=15$'dir. Buradan $S\equiv 15\cdot 7\equiv 105\pmod{m}$ bulunur.