2007 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 06

[matematikolimpiyati]

$A=\dfrac{3^4+3^2+1}{3^7-3}+\dfrac{4^4+4^2+1}{4^7-4}+ \cdots +\dfrac{10^4+10^2+1}{10^7-10}$ olmak üzere$,\ A+\dfrac{1}{220}$ ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{1}{6}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{1}{8}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{1}{10}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1}{12}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{1}{14}$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

Bir teleskopik toplam oluşturacağız. Önce toplamın genel terimini
$$\dfrac{n^4 + n^2 +1}{n^7 - n} = \dfrac{n^4 + n^2 +1}{(n^6 - 1)n} =  \dfrac{n^4 + n^2 +1}{(n^2 - 1)(n^4 + n^2 +1)n} = \dfrac{1}{(n-1)n(n+1)}$$
biçiminde sadeleştirelim. Sonra da teleskopik toplamı yazalım:

$ \displaystyle{A=\sum_{n=3}^{10}  \dfrac{1}{(n-1)n(n+1)} = \dfrac{1}{2}\cdot \sum_{n=3}^{10}  \left(\dfrac{1}{(n-1)n} - \dfrac{1}{n(n+1)}\right) = \dfrac{1}{2}\cdot \left[ \dfrac{1}{2\cdot 3}  - \dfrac{1}{10\cdot 11}\right] = \dfrac{1}{12} - \dfrac{1}{220}}$ olur. Buradan $A + \dfrac{1}{220} = \dfrac{1}{12}$ elde edilir.