2007 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 04

[matematikolimpiyati]

$a_1=1,\ a_2=a_1+(1+2),\ a_3=a_2+(1+2+3), \dots ,\ a_n=a_{n-1}+(1+2+\cdots+n),\dots$ olmak üzere$,\ A=\{a_1,a_2,a_3,\dots ,a_{40},a_{41} \}$ kümesini oluşturalım. $A$ kümesinden$,$ toplamları çift sayı olan iki eleman kaç farklı şekilde seçilebilir?

$\textbf{a)}\ 410  \qquad\textbf{b)}\ 430  \qquad\textbf{c)}\ 470  \qquad\textbf{d)}\ 490  \qquad\textbf{e)}\ 510$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

$1+2+3 + \cdots n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ toplamı ifadesi $n=4k+2$, ($k\in \mathbb N$) biçiminde iken tek sayı belirtir. Diğer $n$ pozitif tam sayı değerlerinde ise bu toplam çift sayı belirtir. $a_1 = 1$ tek sayıdır. $a_2 = 1 + 3 = 4$ çifttir. $a_3 = 4 + 6 = 10$ çift sayı, $a_4=10 + 10 = 20$ çift sayı, $a_5= 20 + 15 = 35$ tek sayıdır. $(a_n) = (1, 4, 10 ,20, 35, 56, 84, 120, 165, \dots )$ olmaktadır.

Tümevarım ile $n=4k+1$ ($k\in \mathbb N$) biçiminde iken $a_n$ nin tek sayı olduğu kanıtlanabilir. Böylece $A$ kümesinde $11$ tek sayı ve $30$ çift sayı vardır. Toplamı çift olan iki eleman $\dbinom{11}{2} + \dbinom{30}{2} = 55 + 435 = 490 $ farklı şekilde seçilebilir.