2007 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 03

[matematikolimpiyati]

$(y-x)(y+x)=51+6y$ denkleminin tam sayılarda kaç tane $(x,y)$ çözümü vardır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 6  \qquad\textbf{e)}\ 8$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

İfadeyi düzenlersek $$y^2-x^2=6y+51\implies y^2-6y+9-x^2=(y-3)^2-x^2=60\implies (y-x-3)(y+x-3)=60$$ elde ederiz. $(y-x-3)+(y+x-3)=2y-6$ çift olduğundan ve çarpımları da çift olduğundan $y-x-3$ ve $y+x-3$ çift olmalıdır. Her $(y-x-3,y+x-3)$ ikilisi için tam olarak bir tane $(x,y)$ çifti elde ederiz. $(y-x-3,y+x-3)=(2a,2b)$ için $ab=15$ olur ve $15$'in $8$ tane tamsayı böleni vardır. Dolayısıyla $8$ tane ikili vardır.