2007 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 01

[matematikolimpiyati]

$xoy$  koordinat sisteminde  $1 \leq x \leq 4,\quad 1 \leq y \leq 4$  olmak üzere$,$ köşeleri tam sayı koordinatlı $(x,y)$ noktalarında bulunan kaç üçgen vardır?

$\textbf{a)}\ 528  \qquad\textbf{b)}\ 520  \qquad\textbf{c)}\ 516  \qquad\textbf{d)}\ 560  \qquad\textbf{e)}\ 544$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{C}$

$16$ nokta arasından $3$ noktanın seçim sayısı $\dbinom{16}{3}$ olur. $x$ veya $y$ eksenine paralel doğrular oluşturan üçlülerin sayısı $8\cdot \dbinom{4}{3}$ olur. Ayrıca ana köşegenlerdeki doğrusal üçlüler $4\cdot \dbinom{4}{3}$ tanedir. Bundan başka $x+y = 4$ doğrusunun üzerindeki $\{(1,3), (2,2), (3,1)\}$ nokta üçlüleri gibi üçgen oluşturmayan $4$ tane daha üçlü vardır. Böylece oluşabilecek üçgenlerin sayısı $\dbinom{16}{3} - 10\cdot \dbinom{4}{3} - 4 = 516$ bulunur.