2006 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 19

[matematikolimpiyati]

$x^3-y^3=2y^2+1$ denkleminin tam sayılarda kaç çözümü vardır?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 1  \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

Denklemde $x>y$ olduğu barizdir. Yani $x\geq y+1$'dir. $$x^3=y^3+2y^2+1\geq (y+1)^3=y^3+3y^2+3y+1\implies 0\geq y^2+3y$$ elde edilir. Bu eşitsizliğin çözümü $y\in [-3,0]$'dür. Yani $y=-3,-2,-1,0$ olabilir. Yerine yazarsak, $(x,y)=(-2,-3),(1,-2),(1,0)$ çözümleri bulunur.