2006 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 18

[matematikolimpiyati]

Bir $ABC$ üçgeninde $AD$ doğru parçası $\widehat A$ açısının açıortayı olup$,$

       $5 \cdot s(\widehat A)=2 \cdot s(\widehat C)$  ve  $|AC|-|CD|=|AB|$  dir.

Buna göre$,\ 19 \cdot s(\widehat A)$ aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 190^{\circ}  \qquad\textbf{b)}\ 280^{\circ}  \qquad\textbf{c)}\ 360^{\circ}  \qquad\textbf{d)}\ 380^{\circ}  \qquad\textbf{e)}\ 570^{\circ}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

$B$'den $AD$'ye inilen dikme $AC$'yi $E$'de kessin. $ABE$ ikizkenar olacağından $|AB|=|AE|$ ve dolayısıyla $|CD|=|CE|$ olacaktır. $AD$ doğrusu $BE$'yi ortaladığından, $BDE$ de ikizkenardır. $m(\widehat{BAD})=k$ dersek, $m(\widehat{ACB})=5k$ olacaktır. $m(\widehat{BDA})=m(\widehat{ADE})=6k$ olacağından $m(\widehat{BDE})=12k$ ve $m(\widehat{CED})=m(\widehat{CDE})=7k$ olacaktır. Sonuç olarak $$7k+12k=19k=180^\circ$$ olacaktır. $19\cdot s(\widehat{A})=38k=360^\circ$ bulunur.

[geo]

$[AB$ üzerinde $AF=AC$ olacak şekilde $F$ noktası alalım.
$AD$ açıortayı $CF$ ye dik olacak ve $CF$ yi ortalayacaktır.
$BF=CD=DF$ olacağı için $BFD$ ikizkenar üçgendir.
$\angle BAC = 2k$ dersek, $BFD$ üçgeninde $5k+7k+7k=180^\circ$ ve $19\angle A = 38k = 360^\circ$