2006 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 16

[matematikolimpiyati]

$a_{11}=0$ ve $a_{14}=21$ olmak üzere$,$

          $A=(a_1,a_2,a_3,...,a_n,...)$

reel sayı dizisi için$,\ A^*$ dizisi$;$

          $A^*=(a_2-a_1,a_3-a_2,a_4-a_3,...,a_{n+1}-a_n,...)$

şeklinde tanımlanıyor.  $(A^*)^*$ dizisinin tüm terimleri $1$ e eşitse$,\ a_1$ aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ -5  \qquad\textbf{b)}\ -2  \qquad\textbf{c)}\ 0  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ 7$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

$b_n=a_{n+1}-a_n$ olarak tanımlayalım. $(A^*)^*$'nin tüm terimleri $1$ olduğundan $(b_n)$ dizisi ortan farkın $1$ olduğu bir aritmetik dizidir. Dolayısıyla, $b_n=n+d$ formatındadır. $$a_{n+1}-a_n=n+d\implies a_{n+1}-a_1=\sum_{k=1}^{n}(a_{k+1}-a_k)=\sum_{k=1}^{n}b_k=\sum_{k=1}^{n}(k+d)=nd+\frac{n(n+1)}{2}$$ elde edilir. $n=10$ ve $n=13$ yazarsak, $$a_{11}-a_1=-a_1=10d+55$$ $$a_{14}-a_1=21-a_1=13d+91\implies a_1=-70-13d$$ Bu iki denklemden $d=-5$ ve $a_1=-5$ elde edilir.