2006 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 15

[matematikolimpiyati]

$a_n=n^2+5,\ (n=1,2,3,...)$ dizisi verilsin. Her $n$ için $a_n$ ve $a_{n+1}$ sayılarının $OBEB$ ' i $d_n$ ile gösterilsin. $d_n$ ' nin alabileceği en büyük değer aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 15  \qquad\textbf{b)}\ 30  \qquad\textbf{c)}\ 25  \qquad\textbf{d)}\ 27  \qquad\textbf{e)}\ 21$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

$a_n=n^2+5$ ve $a_{n+1}=(n+1)^2+5=n^2+2n+6$'dır. $$(a_n,a_{n+1})=(n^2+5,n^2+2n+6)=(n^2+5,2n+1)=(2n^2+10,2n+1)$$ $$=(2n^2+10-n(2n+1),2n+1)=(10-n,2n+1)=(10-n,2n+1+2(10-n))$$ $$=(10-n,21)$$ elde edilir. Bu ifadenin en büyük değeri $21$'dir. Örnek durum olarak $n=31$ için $d_n=21$ olacaktır.