2006 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 14

[matematikolimpiyati]

$a$ ve $b$ pozitif tam sayılar olmak üzere$,\ 2006$ dan küçük olup$,$

                $\dfrac{a \cdot b-2006}{a+b}$

şeklinde gösterilebilen kaç pozitif tam sayı vardır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 1002  \qquad\textbf{d)}\ 1003  \qquad\textbf{e)}\ 2005$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

$0<k<2006$ olmak üzere $\frac{ab-2006}{a+b}=k$ olsun. $$ab-2006=ka+kb\implies ab-ka-kb+k^2=(a-k)(b-k)=k^2+2006$$ elde edilir. Eğer $(a,b)=(k^2+k+2006,k+1)$ seçilirse eşitlik sağlanır. Dolayısıyla, her $k$ için uygun $a$ ve $b$ pozitif tamsayıları vardır. $2005$ sayının hepsi bu formatta yazılabilir.