2006 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 13

[matematikolimpiyati]

Bir açı içine üç kare şekildeki gibi yerleştirilmiştir. Küçük karenin kenar uzunluğu $a$ ve büyük karenin kenar uzunluğu $b$ ise ortadaki karenin kenar uzunluğu nedir?

$\textbf{a)}\ \left( \dfrac{\sqrt a + \sqrt b}{2} \right)^2  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{\sqrt2}{2}(a+b)  \qquad\textbf{c)}\ \sqrt{ab}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{a+b}{2}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Veriler yetersizdir}$

[geo]

Yanıt: $\boxed C$

$AKJ$ dik üçgeni ile $ABC$ dik üçgeni benzerdir.
O zaman bu iki üçgenin hipotenüslerine kurulan karelerin kenarları da orantılıdır.
Bu durumda $\dfrac {EF}{IB} = \dfrac {BC}{KJ}$ elde edilir.

$BC^2 = BC \cdot IB = EF \cdot KJ = ab \Longrightarrow BC = \sqrt {ab}$.

[geo]

$\angle BAC = \alpha$ ve $BC=x$ diyelim.

$BD= a\sin \alpha$, $CD = \dfrac {a}{\cos \alpha}$.

$HK = x\sin \alpha$, $HJ = \dfrac {x}{\cos \alpha}$.

$a\left (\sin \alpha + \dfrac {1}{\cos \alpha} \right) = x$

$x\left (\sin \alpha + \dfrac {1}{\cos \alpha} \right) = b$

Taraf tarafa bölersek $\dfrac {a}{x} = \dfrac {x}{b} \Longrightarrow x^2 = ab$.

[geo]

$\dfrac {BG}{GF} = \dfrac {BG}{GD} = \dfrac {KC}{CH} = \dfrac {KC}{CB}$ ve $\angle BGF = KCB$ olduğu için $\triangle BGF \sim \triangle KCB$ dir. Bu durumda $\angle GBF = \angle CKB$ olur.

$(AA)$ dan $\triangle AFB \sim \triangle ABK$. $\dfrac {AF}{AB} = \dfrac {AB}{AK}$.

$\dfrac {GF}{CB} = \dfrac {AF}{AB} = \dfrac {AB}{AK} = \dfrac {CB}{JK} \Longrightarrow CB^2 = GF \cdot JK = ab$.