Cevap: $\boxed{B}$
Birinci Yol:
Lemma: $a_1:a_2:\cdots:a_n$ şeklindeki bir ifadeye parantezler ekleyerek elde edeceğimiz kesirlerin hepsinde $a_1$ payda, $a_2$ paydada olacaktır. Diğer terimleri ise pay veya paydaya istediğimiz gibi dağıtabiliriz.
İspatı tümevarımla kolayca gösterilebilir.
Bu lemmayı kullanarak verilen ifadeyi $\frac{20}{18}\cdot \frac{p}{q}=1$ olarak yazabiliriz. Burada $p$ ve $q$ sayıları $16,14,12,10,x,y$'nin iki gruba ayrılarak çarpılmış halidir. $$\frac{p}{q}=\frac{10}{9}$$ olduğunu göz önünde bulundurursak, en sade ifadeyi elde etmek için (en küçük $x,y$ sayılarını elde etmeye çalışıyoruz), $10$ payda, $12$ ise paydada olmalıdır. Sadeleştirmeyi yaparsak, elimizdeki sayılar $16,14,x,y$ ve $$\frac{p_1}{q_1}=\frac{4}{3}$$ şeklindedir. $4$'ü sadeleştirmek için $16$'yı paya koyalım. Sadeleştirme sonrasında kesrimiz $\frac{4}{3\cdot 16}=\frac{1}{12}$'ye eşit olmalıdır. Benzer mantıkla $14$ de paydada olmalıdır. Sonuç olarak $$\frac{x}{y}=\frac{7}{6}$$ elde edilir ($xy$ ve $\frac{1}{xy}$ durumlarından çözüm gelmez). Yani $x+y$ en az $6+7=13$'dür.
İkinci Yol: İfadedeki sayılara bakarsak, $14$ içindeki $7$ çarpanının sadeleşmesi için $x$ veya $y$'den birinin $7$'ye bölünmesi gerekir. $18$ içindeki $9$ çarpanı ise $12$ içindeki $3$ ile sadeleşse bile yine bir $3$ çarpanı kalacaktır. Dolayısıyla, $x$ ve $y$'den biri $3$'e de bölünmelidir. $20,18,16,14,12,10$ içindeki $2$ çarpanları sırasıyla $2^2,2,2^2,2,2^2,2$ şeklindedir. Üç tane tekli $2$ çarpanının hepsinin sadeleşmesi mümkün değildir. Bu yüzden $2$ çarpanlarından en az biri $x$ veya $y$ tarafından sadeleşmelidir. Sonuç olarak, $x$ ve $y$ sayıları $2,3,7$'yi çarpan olarak içermektedir. Bu formatta elde edilebilecek en küçük toplam $6+7=13$'dür. Örnek durum ise $$\left[(20:18) : \left[(16:14) : (12:10)\right]\right] : (7:6)=1$$ olarak verilebilir.
