2006 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 10

[matematikolimpiyati]

     $x>0$ olmak üzere$,$

           $x^7+7 \cdot \dfrac{a^{88}}{x}$

ifadesinin alabileceği en küçük değer aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 7 \cdot a^{88}  \qquad\textbf{b)}\ 8 \cdot a^{88}  \qquad\textbf{c)}\ 8 \cdot a^{77}  \qquad\textbf{d)}\ 7 \cdot a^{77}  \qquad\textbf{e)}\ 8 \cdot a^{44}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

Aritmetik-Geometrik ortalama eşitsizliğinden, $$x^7+\underset{7\text{  adet}}{\underbrace{\frac{a^{88}}{x}+\cdots+\frac{a^{88}}{x}}}\geq 8\sqrt[8]{a^{88\cdot 7}}=8|a|^{77}$$ elde edilir. Eşitlik durumu $x^7=\frac{a^{88}}{x}$, yani $x=|a|^{11}$ durumudur.

Sorunun eksiksiz olması için $a>0$ olduğu da eklenmelidir veya şıklardaki $a$'nın tek kuvvetleri $|a|$'nın kuvvetleri olarak değiştirilmelidir.