2006 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 08

[matematikolimpiyati]

$5$ lerin sayısı $2$ lerin sayısından fazla olması koşuluyla$;\ 2,3$ ve $5$ rakamlarıyla oluşturulan $11$ basamaklı sayılardan kaç tanesi $18$ ile tam bölünür?

$\textbf{a)}\ 360  \qquad\textbf{b)}\ 375  \qquad\textbf{c)}\ 390  \qquad\textbf{d)}\ 405  \qquad\textbf{e)}\ 425$

[Metin Can Aydemir]

Cevap:$\boxed{D}$

$2$'den $x$ adet, $5$'den $x+y$ adet, $3$'den ise $11-2x-y$ adet kullanılmış olsun. Sayı $18$'e bölündüğünden son basamağı $2$'dir ve rakamları toplamı $9$'a bölünür. Bu yüzden $x,y\geq 1$ fakat $2x+y\leq 11$'dir. Rakamların toplamından $$2x+5(x+y)+3(11-2x-y)\equiv x+2y+6\equiv 0\pmod{9}\implies x+2y\equiv 3\pmod{9}$$ elde edilir. $x=1,2,3,4,5$ için denersek, $2x+y\leq 11$ koşuluyla birlikte sadece $(x,y)=(1,1),(2,5)$ olabileceği görülür.

İlk durumda bir tane $2$, iki tane $5$ ve sekiz tane $3$ kullanılacaktır. $2$ zaten en sonda olduğundan $\frac{10!}{8!\cdot 2!}=45$ tane sayı elde edilir.

İkinci durumda iki tane $2$, yedi tane $5$ ve iki tane $3$ kullanılacaktır. Bir tane $2$ en sonda olduğundan $\frac{10!}{1!\cdot 7!\cdot 2!}=360$ tane sayı bulunur. Toplamda $360+45=405$ sayı vardır.