2006 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 07

[matematikolimpiyati]

Şekilde$,$ merkezi $O$ noktasında ve yarıçapı $\sqrt5$ cm olan çemberin $AB$ kirişinin uzunluğu $4$ cm dir. $PMRS$ karesinin $P$ köşesi $OA$ üzerinde$,\ S$ köşesi $OB$ üzerinde$,\ M$ ve $R$ köşeleri de $\overset{\huge\frown}{AB}$ yayı üzerindedir. $PMRS$ karesinin alanı kaç $cm^2$ dir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{80}{29}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{16\sqrt5}{21}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{40}{17}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{4\sqrt5}{3}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{16}{9}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

$RS$ ile $AB$ doğruları $X$'de kesişsin. $O$'dan $AB$'ye inilen dikmenin ayağı $H$ olsun, ayrıca bu dikme $MR$'yi $K$'da kessin. Bu karenin bir kenarına $a$ ve $|HK|=b$ dersek, $|XS|=a-b$ olacaktır. Pisagor'dan $|OH|=1$'dir ve benzerlikten $|BX|:|XS|=2$ olduğundan $|XB|=2a-2b$'dir. $$2=|HB|=|HX|+|XB|=\frac{a}{2}+2a-2b=\frac{5a}{2}-2b\implies |OK|=b+1=\frac{5a}{4}$$ bulunur. $OKR$ üçgeninde Pisagor teoremi uygularsak, $$\frac{29a^2}{16}=5\implies a^2=\frac{80}{29}$$ elde edilir. Bu aynı zamanda karenin alanıdır.