2006 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 06

[matematikolimpiyati]

$x$ reel sayısının tam kısmı $\left[ x \right]$ ve kesir kısmı da $\{x\}=x-\left[ x\right]$ olmak üzere$,$

                $f(x)=x^3-3x \cdot \left[ x \right] \cdot \{x\}$

fonksiyonu veriliyor.

      $S=f(1,2)+f(2,2)+f(3,2)+...+f(m,2)$

toplamının bir tam sayı olması için $m$ nin alabileceği en küçük değer nedir?

$\textbf{a)}\ 100  \qquad\textbf{b)}\ 125  \qquad\textbf{c)}\ 200  \qquad\textbf{d)}\ 250  \qquad\textbf{e)}\ 400$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

$x=\lfloor x\rfloor+\{x\}$ yazarsak, $$f(x)=x^3-3x\lfloor x\rfloor\{x\}=\lfloor x\rfloor^3+\{x\}^3$$ olacaktır. Dolayısıyla $f(k,2)=k^3+0.008=k^3+\frac{1}{125}$ olacaktır. Dolayısıyla $$S=\frac{m}{125}+\sum_{k=1}^{m}k^3$$ bulunur. $S$'nin tamsayı olması için $m$'nin en az $125$ olması gerekir.