2006 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 05

[matematikolimpiyati]

$x>1$ reel sayısı için $x+\dfrac{1}{x}=\sqrt{13}$ olduğuna göre  $x^5-\dfrac{1}{x^5}$ sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 369  \qquad\textbf{b)}\ 336  \qquad\textbf{c)}\ 363  \qquad\textbf{d)}\ 339  \qquad\textbf{e)}\ 393$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

Öncelikle $m=x-\frac{1}{x}$ ifadesini hesaplayalım. $x>1$ olduğundan $m>0$'dır. $$13=x^2+\frac{1}{x^2}+2\implies \left(x-\frac{1}{x}\right)^2=m^2=9\implies m=3$$ bulunur. $$27=m^3=\left(x-\frac{1}{x}\right)=x^3-3x+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^3}\implies x^3-\frac{1}{x^3}=36$$  $$243=m^5=\left(x-\frac{1}{x}\right)^5=x^5-5x^3+10x-\frac{10}{x}+\frac{5}{x}-\frac{1}{x^5}=x^5-\frac{1}{x^5}-5\cdot 36+10\cdot 3$$ $$\implies x^5-\frac{1}{x^5}=393$$ elde edilir.