Gönderen Konu: 2006 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 01  (Okunma sayısı 1594 defa)

Çevrimdışı matematikolimpiyati

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.562
  • Karma: +4/-0
2006 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 01
« : Temmuz 21, 2022, 10:20:12 ös »
$n$ pozitif tam sayısının kaç farklı değeri için$,$

            $(n-210)$  ve  $(n+210)$

sayılarının ikisi de bir tam karedir?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ \text{En az 5}$

Çevrimdışı Metin Can Aydemir

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.322
  • Karma: +9/-0
Ynt: 2006 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 01
« Yanıtla #1 : Eylül 04, 2024, 04:24:07 öö »
Cevap: $\boxed{D}$

$b\geq a\geq 0$ için $n-210=a^2$ ve $n+210=b^2$ olsun. $b^2-a^2=420$ elde edilir. Bu şartı sağlayan herhangi bir $(a,b)$ ikilisi için $n=a^2+210>0$ olduğundan her $(a,b)$ çifti için tam olarak bir tane $n$ pozitif tamsayısı vardır. $$b^2-a^2=(b-a)(b+a)=420=2^2\cdot 3\cdot 5\cdot 7$$ olacaktır. $b-a$ ve $b+a$'nın paritesi aynı olduğundan ikisi de çifttir, yani $2^2$ çarpanları otomatik olarak dağıtılmıştır. Bu yüzden $105=3\dot 5\cdot 7$'yi iki çarpan olarak dağıtmalıyız. $(1,105),(3,35),(5,21),(7,15)$ şeklinde dağılacağından $4$ tane çözüm vardır.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal