2005 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 20

[matematikolimpiyati]

$X=\{1,2,3,4\}$ kümesi verilsin.

$f:X \to X$ fonksiyonları içinde$,\ a,b,c \in X$ olmak üzere$,\ f(a)=f(b)=f(c)$ koşulunu sağlamayan kaç tane fonksiyon vardır?

$\textbf{a)}\ 200  \qquad\textbf{b)}\ 202  \qquad\textbf{c)}\ 204  \qquad\textbf{d)}\ 208  \qquad\textbf{e)}\ 212$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

Toplamda $4^4=256$ fonksiyon vardır. Verilen şartı sağlayan fonksiyonların sayısını bulalım.

$4$ elemanın hepsinin aynı çıktıyı verdiği $4$ fonksiyon vardır.

$3$ elemanın aynı, diğerinin farklı çıktı verdiği $\dbinom{4}{3}\cdot 4\cdot 3=48$ tane fonksiyon vardır. Sorudaki şartı sağlayan $256-48-4=204$ fonksiyon vardır.