2005 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 18

[matematikolimpiyati]

$x,y \in \mathbb R$ olmak üzere$,$

$(x-2)(y+2)=(x+y)^2$

eşitliğini sağlayan $(x,y)$ ikililerinin sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

Verilen denklikteki ifadeleri açarsak, $$xy-2y+2x-4=x^2+y^2+2xy\implies x^2+y^2+xy+2y-2x+4=0$$ $$\implies 2x^2+2y^2+2xy+4y-4x+8=(x+y)^2+(x-2)^2+(y+2)^2=0$$ elde edilir. Buradan da sadece $(x,y)=(2,-2)$ çözümü bulunur.