2005 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 17

[matematikolimpiyati]

$5$'in kuvvetleri ve farklı kuvvetlerinin toplamlarından oluşan sayılar artan sırada yazılarak

                     $1,5,6,25,26,30,31,125,...$

dizisi oluşturuluyor. Buna göre bu sayı dizisinin $63$ üncü terimi kaçtır?

$(1=5^0,\ 5=5^1,\ 6=5^0+5^1,\ 25=5^2,\ 26=5^0+5^2,\ 30=5^1+5^2,\ 31=5^0+5^1+5^2,\ 125=5^3\ v.s.)$

$\textbf{a)}\ 3901  \qquad\textbf{b)}\ 3131  \qquad\textbf{c)}\ 3906  \qquad\textbf{d)}\ 3151  \qquad\textbf{e)}\ 775$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

Bu dizinin elemanları $5$ tabanında yazılışında sadece $1$ ve $0$ kullanılan sayılardır. Yani dizi şu şekildedir, $(1)_5=1$, $(10)_5=5$, $(11)_5=6$, $(100)_5=25,\dots$ Eğer $(0)_5=0$'ı da diziye eklersek $64.$ elemanı bulmak istiyoruz. Bu dizinin elemanı olan $n$ veya daha az basamaklı $2^n$ sayı vardır. Dolayısıyla $64=2^6.$ sayı altı basamaklı $0$ ve $1$'den oluşan son sayıdır. O da $$(111111)_5=3906$$ olarak bulunur.