2005 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 16

[matematikolimpiyati]

$(x+6)(\sqrt{x+1}-1)^2 \geq x^2$ eşitsizliğini sağlayan $x$ sayılarının bulunduğu en geniş aralığın uzunluğu aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 3  \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 5  \qquad\textbf{d)}\ 6  \qquad\textbf{e)}\ 7$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

Öncelikle ifadelerin tanımlı olması için $x\geq -1$ olmalıdır. Her tarafı $(\sqrt{x+1}+1)^2>0$ ile çarparsak, $$x^2(x+6)\geq x^2(\sqrt{x+1}+1)^2$$ olacaktır. $x\neq 0$ ise $x^2$'yi sadeleştirebiliriz. $x=0$ durumunda da $x+6\geq (\sqrt{x+1}+1)^2$ olduğundan eşitsizlik $$x+6\geq x+2+2\sqrt{x+1}\implies 2\geq \sqrt{x+1}\implies 3\geq x$$ haline dönüşür. Dolayısıyla $x\in [-1,3]$ olmalıdır. Bu aralığın uzunluğu ise $4$'dür.