2005 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 12

[matematikolimpiyati]

$ABCD$ dikdörtgeni $[EF]$ doğru parçası boyunca şekildeki gibi katlanmıştır. $|AB|=|AE|=2\ br$ ve $|BF|=1\ br$ olduğuna göre $|B'G|$ kaç birimdir?

$\textbf{a)}\ \sqrt3  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac43  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac32  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{\sqrt3}{2}  \qquad\textbf{e)}\ \sqrt2+1$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

$m(\widehat{AEF})=\alpha$ olsun. Bu durumda $m(\widehat{EFG})=\alpha$ ve $m(\widehat{EFB'})=180^\circ-\alpha$ ve $m(\widehat{GFB'})=180^\circ-2\alpha$ olduğundan $$|B'G|=\frac{|B'G|}{|FB'|}=\tan{(180^\circ-2\alpha)}=-\tan 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{\tan^2\alpha-1}$$ elde edilir. $F$'den $AE$'ye dikme indirerek, $\tan{\alpha}=2$ olduğu görülebilir. Buradan da $|B'G|=\frac{4}{3}$ bulunur.

[Seyit Çetin]

çözüm-2