2005 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 11

[matematikolimpiyati]

$n(n+1)(n+2)...(5n-1)5n$ sayısının $5^{86}$'ya bölünmesini sağlayan en küçük pozitif $n$ tam sayısının rakamları toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 13  \qquad\textbf{b)}\ 10  \qquad\textbf{c)}\ 12  \qquad\textbf{d)}\ 14  \qquad\textbf{e)}\ 11$

[Metin Can Aydemir]

Cevap:$\boxed{A}$

Verilen sayı $\frac{(5n!)}{(n-1)!}$'e eşittir. $k!$ içindeki $5$ çarpanı sayısı $v_5(k!)=\sum_{m=1}^{\infty}\left\lfloor \frac{k}{5^m}\right\rfloor$ olduğundan, $$v_5\left(\frac{(5n)!}{(n-1)!}\right)=v_5((5n)!)-v_5(n!)+v_5(n)=v_5(n)+\sum_{m=1}^{\infty}\left\lfloor \frac{5n}{5^m}\right\rfloor-\sum_{m=1}^{\infty}\left\lfloor \frac{n}{5^m}\right\rfloor$$ $$=v_5(n)+\sum_{m=0}^{\infty}\left\lfloor \frac{n}{5^m}\right\rfloor-\sum_{m=1}^{\infty}\left\lfloor \frac{n}{5^m}\right\rfloor=v_5(n)+n$$ olduğundan $v_5(n)+n\geq 86$ olmalıdır. Şartı sağlayan en küçük $n$, $85$'dir ve rakamları toplamı $13$'dür.