2005 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 10

[matematikolimpiyati]

$2$'lik sayı tabanına göre yazılışında dört tane $1$ ve altı tane $0$ olan tüm pozitif sayıların toplamını bulunuz.

$\textbf{a)}\ 84(2^9+1)  \qquad\textbf{b)}\ 28(2^{11}-1)  \qquad\textbf{c)}\ 84(2^9-1)  \qquad\textbf{d)}\ 112(2^{10}-1)  \qquad\textbf{e)}\ 14(2^{11}+1)$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

$2^9$'a karşılık gelen basamak en soldaki basamaktır ve $1$ olmak zorundadır. Geri kalan basamaklar $\frac{9!}{3!\cdot 6!}=84$ farklı şekilde dağıtılabileceğinden, bu basamaktan gelen toplam $84\cdot 2^9$'dur. Diğer $9$ basamak için de o basamağın $1$ olduğu $\frac{8!}{2!\cdot 6!}=28$ sayı vardır. Buralardan da $28(2^8+2^7+\cdots+1 )=28(2^9-1)$ toplamı gelecektir. Tüm sayıların toplamı $$84\cdot 2^9+28\cdot 2^9-28=28(2^{11}-1)$$ bulunur.