2005 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 09

[matematikolimpiyati]

$5 \leq n \leq 2005$ aralığındaki kaç tane $n$ tam sayısı için

               $n- \bigg[ \dfrac{n}{2} \bigg] = \bigg[ \dfrac{2n}{3} \bigg] - \bigg[ \dfrac{n}{6} \bigg]$

eşitliği sağlanmaz? (Burada, $[a]$ ile $a$ sayısının tam kısmı gösterilmektedir.)

$\textbf{a)}\ 222  \qquad\textbf{b)}\ 266  \qquad\textbf{c)}\ 322  \qquad\textbf{d)}\ 334  \qquad\textbf{e)}\ 366$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

$r\in\{0,1,2,3,4,5\}$ olmak üzere $n=6k+r$ olarak yazarsak, eşitlik $$(6k+r)-\left[3k+\frac{r}{2}\right]=\left[4k+\frac{2r}{3}\right]-\left[k+\frac{r}{6}\right]\implies r-\left[\frac{r}{2}\right]=\left[\frac{2r}{3}\right]-\left[\frac{r}{6}\right]=\left[\frac{2r}{3}\right]$$ elde edilir. Bu eşitlik $r=0,2,3,4,5$ için sağlanır, $r=1$ için sağlanmaz. Dolayısıyla, aradığımız sayılar $6k+1$ formatındaki sayılardır. $7,13,\dots,2005$ bu formattaki sayılardır ve $\frac{2005-7}{6}+1=334$ tane vardır.